Matheon

ალგებრა

$a + b = b + a$

$a - b = a + (-b)$

$a \cdot b = b \cdot a = ab$

$\frac{a}{b} = a \cdot \frac{1}{b}, \quad b \neq 0$

$a(b + c) = ab + ac$

$1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}, \quad n \in \mathbb{N}$

$1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები

$ (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 $

$ (a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 $

$ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $

$ (a + b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 $

$ (a - b)^3 = a^3 - 3 a^2 b + 3 a b^2 - b^3 $

$ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - a b + b^2) $

$ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + a b + b^2) $

ხარისხები

$ a^1 = a $

$ a^2 = a \cdot a $

$ a^3 = a \cdot a \cdot a $

$ a^0 = 1 $

$ 0^0 = 1 $

$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $

$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $

$ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $

$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $

$ a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n} $

ფესვები

$$\sqrt{x^2} = |x|$$

$$x^2 = a \implies x = \pm \sqrt{a}$$

$$\sqrt[3]{x^3} = x$$

$$\sqrt[m]{x^n} = x^{\frac{n}{m}}$$

$$\sqrt[n]{x^m} \cdot \sqrt[n]{x^k} = \sqrt[n]{x^{m+k}}$$

$$\sqrt[n]{x^m} / \sqrt[n]{x^k} = \sqrt[n]{x^{m-k}}$$

$$\sqrt[n]{(\sqrt[n]{x^m})^k} = \sqrt[n \cdot k]{x^{m \cdot k}}$$

$$\sqrt{(x+y)^2} = |x+y|$$

$$\sqrt{(x-y)^2} = |x-y|$$

$$\sqrt[3]{(x+y)^3} = x+y$$

$$\sqrt[3]{(x-y)^3} = x-y$$

$$\sqrt[3]{x^3 + y^3} = \sqrt[3]{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}$$

$$\sqrt[3]{x^3 - y^3} = \sqrt[3]{(x-y)(x^2 + xy + y^2)}$$

კვადრატული განტოლება

კვადრატული განტოლება:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

დისკრიმინანტი:

$$D = b^2 - 4ac$$

ამონახსნები:

$$D > 0 \Rightarrow x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} ,$$ $$\quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$ $$D = 0 \Rightarrow x = \frac{-b}{2a}$$

ამონახსნი არ არსებობს:

$$D < 0 $$

გეომეტრია

პითაგორას თეორემა

$$a^2 + b^2 = c^2$$